Кинетическая энергия пружины — формула и определение

На данном уроке мы поговорим о том, что такое сила упругости, научимся вычислять ее работу, введя в рассмотрение новую разновидность потенциальной энергии, а также поговорим о потенциальной энергии и об упругом столкновении тел.

Введение

На прошлом уроке мы с вами показали, что для применения теоремы об изменении кинетической энергии мы должны уметь вычислять работу основных сил в природе. И мы уже научились это делать на примере работы силы тяжести. Было показано, что эту величину очень просто рассчитать, если ввести в рассмотрение новый вид энергии – потенциальную энергию тела, притягивающуюся к земле. Сегодня сделаем то же самое для силы упругости.

Рассмотрим простую систему: массивный груз, прикрепленный к пружине (см. рис. 1).

Рис. 1. Груз, прикрепленный к пружине

Пусть изначально система находится в состоянии равновесия, то есть пружина не деформированная, и груз покоится. Выведем эту систему из равновесия и сделаем так, чтобы пружина стала в сжатом состоянии (см. рис. 2).

Рис. 2. Система выведена из равновесия

Если направить ось ОХ так, как показано на рис. 2, и расположить начало координат там, где до начала сжатия был расположен центр груза, то проекцию возникающей силы упругости на нашу ось ОХ можно записать в виде:

,

где k – жесткость пружины, величина деформации пружины. Если предоставить пружину самой себе, то груз будет смещаться влево, при этом сила упругости будет совершать работу. Предположим, что левый конец пружины вместе с грузом переместился из положения А в положение В (см. рис. 3).

Рис. 3. Перемещение груза

В этом положении деформация пружины равна уже не , а . А перемещение конца пружины и одновременно перемещение центра груза равно разности координат . Попытаемся вычислить работу силы упругости, совершенную при таком движении груза.

Понятие энергии

Для работы двигателей, которые придают движение автомобилям, тракторам, тепловозам, самолетам, нужно топливо, которое является источником энергии. Электродвигатели придают движение станкам при помощи электроэнергии. За счет энергии воды, падающей с высоты, оборачиваются гидротурбины, соединенные с электрическими машинами, производящими электрический ток. Человеку для того, чтобы существовать и работать, также нужна энергия. Говорят, что для того, дабы выполнять какую-нибудь работу, необходима энергия. Что же такое энергия?

• Наблюдение 1. Поднимем над землей мяч. Пока он пребывает в состоянии спокойствия, механическая работа не выполняется. Отпустим его. Под действием силы тяжести мяч падает на землю с определенной высоты. Во время падения мяча выполняется механическая работа.
• Наблюдение 2. Сомкнем пружину, зафиксируем ее нитью и поставим на пружину гирьку. Подожжем нить, пружина распрямится и поднимет гирьку на некую высоту. Пружина выполнила механическую работу.
• Наблюдение 3. На тележку закрепим стержень с блоком в конце. Через блок перекинем нить, один конец которой намотан на ось тележки, а на другом висит грузик. Отпустим грузик. Под действием силы тяжести он будет опускаться книзу и придаст тележке движение. Грузик выполнил механическую работу.

После анализа всех вышеперечисленных наблюдений можно сделать вывод, что если тело или несколько тел во время взаимодействия выполняют механическую работу, то говорят, что они имеют механическую энергию, либо энергию.

Вычисление работы силы упругости

Груз совершил известное перемещение, величину силы упругости мы также знаем, векторы перемещения и силы упругости параллельны. Казалось бы, все ясно – нужно умножить величину силы на величину перемещения и получить значение работы. Однако здесь не все так просто – разберемся почему.

О чем нам говорит формула, которая выражает величину силы упругости? О том, что сила упругости – величина не постоянная, она меняется по мере перемещения груза. И действительно, величина этой силы, как мы видим из формулы, зависит от координаты центра груза. Формула же для работы силы, которую мы применяли раньше, справедлива лишь в том случае, если сила не меняет свою величину по мере движения. Как же тогда быть? Один из вариантов выхода из данной ситуации мог бы состоять в том, что мы применим такой же метод, который применялся нами ранее в разделе кинематика при расчете перемещения тела, движущегося равноускоренно.

Можно всю траекторию движения груза разбить на очень маленькие участки (участки, в пределах которых силу упругости можно считать практически постоянной). Далее в пределах каждого такого участка мы можем рассчитать работу силы упругости ввиду ее практического постоянства. Затем работа на всей области движения груза будет складываться из всех этих маленьких работ на этих участках. Таким образом, мы сможем посчитать работу силы упругости на всей траектории движения груза. На рис. 4 приведены детали такого расчета.

Рис. 4. Зависимость силы упругости от координаты движения

Видно, что если отложить на графике зависимость модуля силы упругости от модуля координаты груза, затем проделать описанное выше разбиение на маленькие участки, то величина работы на каждом маленьком участке численно равна площади фигуры, ограниченной графиком: осью абсцисс и двумя перпендикулярами к этой оси (см. рис. 5).

Рис. 5. Площадь фигуры

Если просуммировать значение работы на каждом участке (площадь маленьких фигур), то получим площадь большой фигуры, показанной на рис. 6.

Рис. 6. Площадь большой фигуры

Поскольку данная фигура является прямоугольной трапецией, то мы можем воспользоваться формулой для расчета площади такой фигуры – это полусумма оснований, умноженная на высоту. В результате преобразований получим такую формулу – работа равна разности между величиной:

К этому результату можно прийти и несколько иным способом. Для вычисления работы силы упругости в этом способе необходимо просто взять среднее значение силы упругости и умножить его на перемещение тела. Это утверждение можно записать как:

,

где  среднее значение силы упругости, которое равно полусумме начального и конечного ее значений. Если данное выражение  подставить в формулу для работы, то при помощи простых алгебраических преобразований мы получим то же самое выражение, что получали ранее:

Как видно из этой формулы, работа зависит лишь от начальной и конечной координаты центра груза, и еще одно замечание: как видно из последней формулы, работа силы упругости никоим образом не зависит от массы груза. Это обусловлено тем, что и сама сила упругости не зависит от этой массы.

Теперь внимательнее посмотрим на последнюю формулу – если вынести -1 за скобки, то получим, что работа есть взятая со знаком минус разность между значениями некоторой величины, равной половине произведения жесткости пружины на квадрат ее удлинения в конечный и начальный моменты времени.

Вспомним, как мы поступили при расчете работы силы тяжести на прошлом уроке. В тот раз мы столкнулись с новой для нас физической величиной, разность между значениями которой в конечной и начальной моменты времени равнялась взятой со знаком « — » работе силы тяжести. Это величина, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения и высоту, на которую было поднято тело над некоторым уровнем, мы назвали потенциальной энергией тела, поднятого над землей.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Здесь поступим аналогичным образом. Величину, равную половине произведения жесткости пружины на квадрат ее удлинения, назовем потенциальной энергией деформированной пружины. Мы имеем право это сделать, поскольку изменение данной величины, взятой с обратным знаком, равно работе силы упругости. Теперь формулу для вычисления работы силы упругости можно озвучить по-другому: работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела (пружины), взятому с обратным знаком:

Работа силы упругости, как и работа силы тяжести, зависит только от начального и конечного положения центра груза – это означает, что работа силы упругости не зависит от формы траектории груза, а в том случае, когда траектория является замкнутой, работа силы упругости равна 0.

Если за начало отсчета принять положение груза при недеформированной пружине, а после принять, что удлинение пружины равно  (см. рис. 7), то формула для работы силы упругости приобретает вид:

Рис. 7. Вычисление работы силы упругости

Но  – это потенциальная энергия пружины при ее удлинении на величину , следовательно, потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе тела (пружины) в состояние, в котором его деформация равна 0.

Когда мы описывали потенциальную энергию тела, поднятого над землей, мы говорили, что потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел и в том случае это была энергия взаимодействия двух тел – груза и земли. Что касается силы упругости, то о ней можно сказать почти то же самое – это тоже энергия взаимодействия, однако теперь это энергия взаимодействия не различных тел, а частей одного и того же тела – в нашем случае это энергия взаимодействия частей пружины.

Теперь рассмотрим задачу.

Энергия кинетическая: формула и определение

Иногда значение механической работы можно рассматривать без употребления понятий силы и перемещения, акцентировав внимание на том, что работа характеризует изменение энергии тела. Все, что нам может потребоваться, — это масса некоего тела и его начальная и конечная скорости, что приведет нас к кинетической энергии. Кинетическая энергия (КЭ) — это энергия, принадлежащая телу вследствие собственного движения.

Кинетическую энергию имеет ветер, ее используют для придания движения ветряным двигателям. Движимые массы воздуха оказывают давление на наклонные плоскости крыльев ветряных двигателей и заставляют их оборачиваться. Вращательное движение при помощи систем передач передается механизмам, выполняющим определенную работу. Движимая вода, оборачивающая турбины электростанции, теряет часть своей КЭ, выполняя работу. Летящий высоко в небе самолет, помимо ПЭ, имеет КЭ. Если тело пребывает в состоянии покоя, то есть его скорость относительно Земли равна нулю, то и его КЭ относительно Земли равна нулю. Экспериментально установлено, что чем больше масса тела и скорость, с которой оно движется, тем больше его КЭ. Формула кинетической энергии поступательного движения в математическом выражении следующая:

Где К — кинетическая энергия, m — масса тела, v — скорость.

Закон сохранения энергии

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения энергии:

• полная механическая энергия замкнутой системы тел есть величина постоянная:

     

В случае, когда на тело (или систему тел) действуют внешние силы, например, сила трения, закон сохранения механической энергии не выполняется. В этом случае изменение полной механической энергии тела (системы тел) равно работе внешних сил:

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. Так же, как и закон сохранения импульса, он справедлив не только для механических движений, но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что в энергию в природе нельзя уничтожить так же, как и создать из ничего.

В наиболее общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так:

• энергия в природе не исчезает и не создается вновь, а только превращается из одного вида в другой.

Задача

Динамометр, рассчитанный на 40 Н, имеет пружину жесткостью 500 . Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину от середины шкалы до последнего деления?

Решение задачи

В условии нам не дано значений удлинения пружины динамометра, поэтому введем его сами. Пусть удлинение пружины на середине шкалы равно  (см. рис. 8).

Рис. 8. Удлинение шкалы

Следовательно, когда пружина растянута с максимальной силой, то удлинение равно . Воспользуемся для последнего случая законом Гука, поскольку мы знаем значение максимальной силы и жесткости пружины.

Откуда:

Следовательно, нам необходимо рассчитать работу при удлинении от 4 см до 8 см. Воспользуемся формулой, полученной на уроке:

Работа равна разности между значениями потенциальной энергии пружины, растянутой до полного удлинения и до полвины.

Ответ:.

Теперь мы с вами можем рассчитывать потенциальную энергию тела, поднятого над землей, и потенциальную энергию тела, которое испытывает упругую деформацию.

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. Перышкин А.В. Физика: учебник 10 класс. – Издательство: Дрофа.: 2010. – 192 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт fizika.in (Источник)     

2. Интернет-сайт Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (Источник)

Домашнее задание

1. Что такое сила упругости?

2. Напишите формулу, по которой можно найти работу силы упругости.

3. Что такое потенциальная энергия тела?

Средняя кинетическая энергия молекул газа

Многочисленными опытами было установлено, что средняя кинетическая энергия молекул газа в поступательном движении при заданной температуре одна и та же, и не зависит от рода газа. Кроме того, было установлено также, что при нагревании газа на 1 оС СКЭ увеличивается на одно и то же самое значение. Сказать точнее, это значение равно: ΔЕк = 2,07 х 10-23Дж/оС. Для того чтобы вычислить, чему равна средняя кинетическая энергия молекул газа в поступательном движении, необходимо, помимо этой относительной величины, знать еще хотя бы одно абсолютное значение энергии поступательного движения. В физике достаточно точно определены эти значения для широкого спектра температур. К примеру, при температуре t = 500 оС кинетическая энергия поступательного движения молекулы Ек = 1600 х 10-23Дж. Зная 2 величины (ΔЕк и Ек), мы можем как вычислить энергию поступательного движения молекул при заданной температуре, так и решить обратную задачу — определить температуру по заданным значениям энергии.

Напоследок можно сделать вывод, что средняя кинетическая энергия молекул, формулакоторой приведена выше, зависит только от абсолютной температуры (причем для любого агрегатного состояния веществ).

Релятивизм

Когда скорость тела близка к скорости света, кинетическую энергию находят по следующей формуле:

Кинетическая энергия тела, формула которой была написана выше, может также рассчитываться по такому принципу:

В заключение

Энергия — это важнейшая составляющая во всех аспектах жизни, ведь без нее никакие тела не смогли бы выполнять работу, в том числе и человек. Думаем, статья вам внятно дала понять, что собой представляет энергия, а развернутое изложение всех аспектов одной из ее составляющих — кинетической энергии — поможет вам осознать многие процессы, происходящих на нашей планете. А уж о том, как найти кинетическую энергию, вы можете узнать из приведенных выше формул и примеров решения задач.

Поделитесь в соц.сетях:

Оцените статью: (Пока оценок нет) Загрузка...

Читайте также:

Конденсатор для пуска электродвигателя,... САПР — структура, классификация, возможн... Как определить шаг резьбы — штангенцирку... Передаточное отношение передач — зубчато...